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Begründen und Beweisen

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Hier erfährst du, wie du den Satz des Pythagoras beweisen kannst.Der Satz ist nach Pythagoras von Samos (* um 570 v. Chr.; † nach 510 v. Chr.) benannt. Er war aber schon lange vor Pythagoras bekannt.Die Babylonier und ägypter haben bereits um 1600 v. Chr. die Zusammenhänge am rechtwinkligen Dreieck erkannt und sie als selbstverständlich hingenommen.

Begründen und beweisen

Ein Beweis ist eine logische Begründung mit Allgemeingültigkeit. Möchtest du zum Beispiel den Satz des Pythagoras beweisen, so genügt es nicht, die Gleichung an einigen rechtwinkligen Dreiecken exemplarisch nachzuprüfen. Auch die Begründung „Es wurde noch kein Gegenbeispiel gefunden“ reicht nicht aus. Die Gültigkeit des Satzes muss für alle rechtwinkligen Dreiecke nachgewiesen werden, erst dann handelt es sich um einen mathematischen Beweis. Es gibt Hunderte von Beweisen des Satzes des Pythagoras, die teilweise aber nur sehr wenig voneinander abweichen. Daher werden schon lang bekannte Beweise auch immer wieder neu entdeckt. Einer dieser Beweise wird Leonardo da Vinci zugesprochen und auch der amerikanische Präsident James Abraham Garfield hat einen Beweis geliefert.
Ergänzungsbeweis Dieser Beweis hat seinen Ursprung vermutlich auch im alten Indien. Die Idee ist, einerseits das Hypotenusenquadrat und andererseits die beiden Kathetenquadrate durch jeweils vier identische Dreiecke so zu ergänzen, dass zwei gleich große Quadrate entstehen. Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c (Ausgangsdreieck). Du betrachtest diese beiden Figuren. Figur 1 entsteht, indem du das Hypotenusenquadrat ergänzt durch vier Dreiecke, die kongruent sind zum Ausgangsdreieck.Figur 2 entsteht, indem du die beiden Kathetenquadrate ergänzt durch vier Dreiecke, die kongruent sind zum Ausgangsdreieck. In beiden Figuren ergänzen sich blaue und orange Flächen zu demselben Quadrat mit der Seitenlänge a+b. Da die orange Fläche (vier kongruente Dreiecke) in beiden Figuren gleich groß ist, ist auch die blaue Fläche in beiden Figuren gleich groß ist. Also sind die beiden Kathetenquadrate zusammen genauso groß wie das Hypotenusenquadrat. Das funktioniert aber nur, wenn das Ausgangsdreieck rechtwinklig ist. Ist es nicht rechtwinklig, so ergänzen sich blaue und orange Flächen nicht zu einem Quadrat, sondern zu einem Achteck. Wieso entsteht eine Ecke im Punkt A? In dem Ausgangsdreieck gilt . Daraus folgt . Also ergeben der rechte Winkel im Punkt A zusammen mit den Winkeln und keinen gestreckten Winkel. Es entsteht eine Ecke.
Leonie und Paul haben als Vorlage dasselbe rechtwinklige Ausgangsdreieck ABC mit den Seitenlängen , , . Leonie verdoppelt alle Seiten des Ausgangsdreiecks. Paul hingegen verlängert die Seiten des Ausgangsdreiecks jeweils um . Sind die beiden neuen Dreiecke rechtwinklig? Leonies neues Dreieck ist rechtwinklig, Pauls Dreieck ist nicht rechtwinklig. Begründung:Leonie verdoppelt alle Seiten des Augangsdreiecks und erhält ein neues Dreieck mit den Seitenlängen a’= , b’= und c’= . Du überprüfst, ob die Gleichung für diese Werte erfüllt ist: also: (übrigens: Dass Leonies neues Dreieck A’B’C’ rechtwinklig ist, kannst du auch mit dem Ähnlichkeitssatz S:S:S begründen. Das Dreieck A’B’C’ entsteht aus dem Dreieck ABC durch Verdopplung der Seiten, also sind die beiden Dreiecke zueinander ähnlich. Insbesondere hat das Dreieck A’B’C’ dieselben Winkel wie das Dreieck ABC und ist deshalb auch rechtwinklig.) Paul verlängert alle Seiten des Ausgangsdreiecks um einen Zentimeter und erhält ein neues Dreieck mit den Seitenlängen , , . Wäre dieses Dreieck rechtwinklig, so käme als Hypotenuse nur die längste Seite c’ in Frage. Außerdem müsste nach dem Satz des Pythagoras die Gleichung erfüllt sein: also: ≠